题目内容
8．实数x，y，z满足：x+y+z=9，xy+yz+xz=24，则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{z}$的取值范围是$[\frac{8}{5}，32]$．分析 x+y+z=9，xy+yz+xz=24，可得：x+y=9-z，xy=24-z（9-z）=24-9z+z2．因此x，y是一元二次方程t2-（9-z）t+24-9z+z2=0的两个实数根，利用△≥0．可得z的取值范围，则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{z}$=$\frac{（x+y）^{2}-2xy}{z}$=$\frac{33-{z}^{2}}{z}$，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
解答 解：x+y+z=9，xy+yz+xz=24，
∴x+y=9-z，
xy=24-z（9-z）=24-9z+z2．
∴x，y是一元二次方程t2-（9-z）t+24-9z+z2=0的两个实数根，
∴△=（9-z）2-4（24-9z+z2）≥0．
化为：z2-6z+5≤0，解得1≤z≤5．
则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{z}$=$\frac{（x+y）^{2}-2xy}{z}$=$\frac{（9-z）^{2}-2（24-9z+{z}^{2}）}{z}$=$\frac{33-{z}^{2}}{z}$=f（z），
f′（z）=$-\frac{33}{{z}^{2}}$-1＜0，
∴f（z）在[1，5]上单调递减，
∴f（z）∈$[\frac{8}{5}，32]$．
故答案为：$[\frac{8}{5}，32]$．
点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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19．
某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；
（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
表格中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归方程．
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；
（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
| 广告投入x（单位：万元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 销售收益y（单位：万元） | 2 | 3 | 2 | 7 |
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
16．若函数y1=2sinx1（x1∈[0，2π]），函数y2=x2+$\sqrt{3}$，则（x1-x2）2+（y1-y2）2 的最小值为（ ）
| A． | $\frac{（5π-6\sqrt{3}）^{2}}{18}$ | B． | $\frac{（5π+6\sqrt{3}）^{2}}{18}$ | C． | $\frac{{π}^{2}}{18}$ | D． | $\frac{{π}^{2}}{9}$ |
20．下列命题中正确的是（ ）
| A． | 当x＞0且x≠1时，lgx+$\frac{1}{lgx}$≥2 | |
| B． | 当x＞0时，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$≥2 | |
| C． | 当0＜θ≤$\frac{π}{2}$时，sinθ+$\frac{2}{sinθ}$的最小值为2$\sqrt{2}$ | |
| D． | 当-$\frac{1}{2}$≤x＜0时，x+$\frac{1}{x}$有最大值-2 |
17．在三棱锥S-ABC中，已知SA=BC=2，SB=AC=$\sqrt{3}$，SC=AB=$\sqrt{5}$，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
| A． | 2π | B． | 2$\sqrt{6}$π | C． | 6π | D． | 12π |