题目内容

如图,中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点.

（1）证明:;
（2）求二面角的正弦值.

（1）利用线线平行证明线面平行；（2）利用定义法或向量法求二面角

解析试题分析：

(1)证法一: 连接                    1分
由题意知,点分别为和的中点,
.                               3分
又平面,平面,   5分
平面.                    6分
证法二:取中点,连,而 分别为与的中点,
,   2分
,, ,
同理可证               4分
又 平面//平面.   5分
平面，平面.     6分
证法三(向量法):以点为坐标原点,分别以直线
为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.

于是
,,

向量是 平面的一个法向量   2分
，  4分
又                         5分
平面.                 6分
(2)解法一: 以点为坐标原点,分别以直线
为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.
于是

练习册系列答案
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如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，
PA=BC=1，PD=AB=,E、F分别为线段PD和BC的中点．

（Ⅰ） 求证：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有；
(3)当为何值时,与平面所成角的大小为45°.

在长方体中，，，为中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.

如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，
，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；

如图，在梯形△ABCD中，AB//CD，AD=DC-=CB=1，ABC=60。，四边形ACFE为矩形，平面ACFE上平面ABCD，CF=1．

（1）求证：BC⊥平面ACFE；  
（2）若M为线段EF的中点，设平面MAB与平面FCB所成角为，求．

如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使的平面ABD⊥平面CBD,AE⊥平面ABD,且AE=，

（1） 求证：DE⊥AC
（2）求DE与平面BEC所成角的正弦值
（3）直线BE上是否存在一点M，使得CM//平面ADE,若存在，求M的位置，不存在，请说明理由。

如图,S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD⊥面ABCD ,AB=1，SB=.

(1)求证：BCSC;
(2) 设M为棱SA中点,求异面直线DM与SB所成角的大小
(3) 求面ASD与面BSC所成二面角的大小;

已知四棱锥的底面是等腰梯形，且
分别是的中点．

（1）求证：； 
（2）求二面角的余弦值．

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