题目内容
在长方体中,
,
,
为
中点.(Ⅰ)证明:
;(Ⅱ)求
与平面
所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱
上是否存在一点
,使得
∥平面
?若存在,求
的长;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)先证平面
(Ⅱ)
(Ⅲ)
的长
.
解析试题分析:(Ⅰ)证明:连接∵
是长方体,∴
平面
,又
平面
∴
在长方形中,
∴
又∴
平面
,
而平面
∴
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则
,
设平面的法向量为
,则
令
,则
,
所以 与平面
所成角的正弦值为
(Ⅲ)假设在棱上存在一点
,使得
∥平面
.
设的坐标为
,则
因为
∥平面
所以 ,即
,
,解得
,
所以 在棱上存在一点
,使得
∥平面
,此时
的长
.
考点:直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.
点评:本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

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