Question

16．某公司要招聘甲、乙两类员工共150人，该公司员工的工资由基础工资组成．其中甲、乙两类员工每人每月的基础工资分别为2千元和3千元，甲类员工每月的人均绩效工资与公司月利润成正比，比例系数为a（a＞0），乙类员工每月的绩效工资与公司月利润的平方成正比，比例系数为b（b＞0）．
（Ⅰ）若要求甲类员工的人数不超过乙类员工人数的2倍，问甲、乙两类员工各招聘多少人时，公司每月所付基础工资总额最少？
（Ⅱ）若该公司每月的利润为x（x＞0）千元，记甲、乙两类员工该月人均工资分别为w_甲千元和w_乙千元，试比较w_甲和w_乙的大小．（月工资=月基础工资+月绩效工资）

Answer 1

分析 （Ⅰ）设招聘甲类员工人数为x，乙类员工人数为（150-x），求出公司每月所付的基础工资总额，即可得出结论；
（Ⅱ）由已知，w_甲=2+ax，w_乙=3+bx²，w_乙-w_甲=（3+bx²）-（2+ax）=bx²-ax+1（a＞0，b＞0，x＞0），分类讨论，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）设招聘甲类员工人数为x，乙类员工人数为（150-x），公司每月所付的基础工资总额为y千元，
因为x≤2（150-x），所以0＜x≤100，x∈N…（1分）
因为y=2x+3（150-x）=450-x…（2分）
x=100时，y_min=350，
所以甲类员工招聘100人，乙类员工招聘50人 时，公司每月所付的基础工资
总额最少为 350000元…（4分）
（Ⅱ）由已知，w_甲=2+ax，w_乙=3+bx²…（5分）
w_乙-w_甲=（3+bx²）-（2+ax）=bx²-ax+1（a＞0，b＞0，x＞0）…（6分）
△=a²-4b
（ i）当△＜0，即a²＜4b时，bx²-ax+1=0无实数根，
此时w_乙-w_甲＞0，即w_乙＞w_甲；…（7分）
（ ii）当△=0，即a²=4b时，bx²-ax+1=0有两个相等正实根$\frac{a}{2b}$，
 ①当x=$\frac{a}{2b}$时，w_乙=w_甲；…（8分）
②当x＞0且x≠$\frac{a}{2b}$时，w_乙＞w_甲；…（9分）
（ iii）当△＞0，即a²＞4b时，bx²-ax+1=0有两个不相等正数根$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$和$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$，
 ①当x∈（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$）∪（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$，+∞）时，w_乙＞w_甲；…（10分）
②当x∈（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$）时，w_乙＜w_甲；…（11分）
 ③当x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$或$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$时，w_乙=w_甲…（12分）

点评 考查学生对不等式概念本质的理解，比较大小及模型思想，分类讨论思想，生活应用意识．