Question

已知f（x）=x²-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，则实数a的取值范围是

[-3，1]

．

Answer 1

分析：f（x）=x²-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，即x²-2ax+2-a≥0当x∈[-1，+∞）时恒成立，由二次函数的性质判断出函数在[-1，+∞）上的最小值，令其非负求出实数a的取值范围

解答：解：∵f（x）=x²-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立
∴x²-2ax+2-a≥0当x∈[-1，+∞）时恒成立  ①
△=4a²-4（2-a）≤0时，①式成立，解得-2≤a≤1
△=4a²-4（2-a）≥0时，得a＜-2或a＞1
又f（x）=x²-2ax+2-a的对称轴是x=a
当a＞1时，函数的最小值是a²-2a²+2-a≥0，解得-2≤a≤1，此种情况下无解，
当a＜-2时，函数在区间[-1，+∞）上是增函数，最小值在x=-1时取到，所以函数的最小值是3+a≥0，解得a≥-3，故有-3≤a＜-2
综上，实数a的取值范围是[-3，1]
故答案为[-3，1]

点评：本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解二次函数的性质，且能根据二次函数的性质将题设中恒成立的条件转化成关于所求参数的不等式，解出a的取值范围，本题求解时要注意转化等价，分类要统一标准，分类清楚，莫因为分类不清，转化不等价导致解题失败．