Question

已知f（x）=x²+2x，数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=f′（a_n）-n-1，数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=f（b_n）．
（1）求证：数列{a_n-n}为等比数列；
（2）令cn=

1

an-n-1

，求证：c2+c3+…+cn＜

2

3

；
（3）求证：

1

3

≤

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

＜

1

2

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的导函数，代入a_n+1=f′（a_n）-n-1可得a_n+1与a_n的关系，设a_n+1+x（n+1）+y=2（a_n+xn+y）进而可得方程组

2x-x=-1 2y-y-x=1

解得x和y，代入a_n+1+x（n+1）+y=2（a_n+xn+y），可得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），进而可证明数列{a_n-n}为等比数列．
（2）把（1）中求得的a_n代入Cn，可得Cn=

1

2n-1

=

2n+1-1

2n

[

1

2n-1

-

1

2n+1-1

]，根据

2n+1-1

2n

=2-

1

2n

＜2可知Cn＜2[

1

2n-1

-

1

2n+1-1

]，进而可知C₂+C₃++C_n＜2(

1

3

-

1

2n+1-1

)，原式得证．
（3）把b_n代入b_n+1=f（b_n）．可得b_n+1+1=（b_n+1）²，两边求对数化简得

1

bn+1

=(

1

3

)2n-1≤(

1

3

)n，进而根据等比数列的求和公式可推断

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

≤

1-( 1 3 )n-1

2

＜2，又

1

b1+1

+

1

b2+1

++

1

bn+1

≥

1

b1+1

=

1

3

进而可证明原式．

解答：解：（1）f'（x）=2x+2?a_n+1=2a_n+2-n-1?a_n+1=2a_n-n+1
设a_n+1+x（n+1）+y=2（a_n+xn+y）?

2x-x=-1 2y-y-x=1

?

x=-1 y=0

?a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
∴数列{a_n-n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n=2ⁿ+n（n∈N^*）．
（2）Cn=

1

2n-1

=

2n+1-1

2n

[

1

2n-1

-

1

2n+1-1

]＜2[

1

2n-1

-

1

2n+1-1

]
∴C2+C3++Cn＜2[

1

22-1

-

1

23-1

+

1

23-1

-

1

24-1

++

1

2n-1

-

1

2n+1-1

]
=2(

1

3

-

1

2n+1-1

)＜

2

3

．
（3）b_n+1=b_n²+2b_n?b_n+1+1=（b_n+1）²?log₃（b_n+1+1）=2log₃（b_n+1）
?

1

bn+1

=(

1

3

)2n-1?

1

bn+1

≤(

1

3

)n?

1

b1+1

+

1

b2+1

+

1

bn+1

＜

1

2

，
又∵

1

b1+1

+

1

b2+1

++

1

bn+1

≥

1

b1+1

=

1

3

∴原式得证．

点评：本题主要考查数列等比关系的确定．等比数列常与幂函数、对数函数、不等式一块考查，应注意联系这些函数的性质．