Question

如图，点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的对角线BD₁上，且cos∠PDA=

6

4

，则直线DP与CC₁所成角的大小（　　）

• A、75°
• B、60°
• C、45°
• D、30°

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：连结AP，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为1，由cos∠PDA=

6

4

，求出P（3-

6

，3-

6

，

6

-2），由此能求出直线DP与CC₁所成角的大小．

解答： 解：连结AP，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为1，
则D₁（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），
A（1，0，0），设P（a，b，c），

D1P

=λ

D1B

，0≤λ≤1，
∴（a，b，c-1）=（λ，λ，0），∴P（λ，λ，1-λ），

DA

=（1，0，0），

DP

=（λ，λ，1-λ），
∵cos∠PDA=

6

4

，
∴cos∠PDA=cos＜

DA

，

DP

＞
=

DA • DP

| DA |•| DP |

=

λ

3λ2-2λ+1

=

6

4

，
由0≤λ≤1，解得λ=3-

6

，
∴P（3-

6

，3-

6

，

6

-2），

DP

=（3-

6

，3-

6

，

6

-2），

CC1

=（0，0，1），
设直线DP与CC₁所成角为θ，
cosθ=|cos＜

DP

，

CC1

＞|=

| DP • CC1 |

| DP |•| CC1 |

=

6 -2

2 10-4 6

=

1

2

．
∴θ=60°，
∴直线DP与CC₁所成角的大小为60°．
故选：B．

点评：本题考查两异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．