Question

16．求函数y=cos²x+4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．

Answer 1

分析 令sinx=t，t∈[-1，1]，换元可得y=-（t-2）²+5，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：令sinx=t，t∈[-1，1]，
换元可得y=cos²x+4sinx
=1-t²+4t=-t²+4t+1=-（t-2）²+5，
由二次函数可知y在t∈[-1，1]单调递增，
∴函数的最大值为4，此时sinx=t=1，x的集合为{x|x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}；
函数的最大值为-4，此时sinx=t=-1，x的集合为{x|x=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z}．

点评 本题考查三角函数的最值，换元并利用二次函数区间的最值是解决问题的关键，属基础题．