Question

11．若存在非零实数x，y，使不等式（6a-1）x²-2xy+ay²≥0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [0，+∞）
• B． （-∞-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． [-$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． [$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 首先分离参数a≥$\frac{x^2+2xy}{6x^2+y^2}$，再通过换元，分类讨论，最后运用基本不等式求函数最值．

解答 解：∵x，y为非零实数，∴对不等式（6a-1）x²-2xy+ay²≥0分离参数a得，
a≥$\frac{x^2+2xy}{6x^2+y^2}$=$\frac{1+2t}{6+t^2}$，其中t=$\frac{y}{x}$∈（-∞，0）∪（0，+∞），
记f（t）=$\frac{1+2t}{6+t^2}$=$\frac{4（2t+1）}{（2t+1）^2-2（2t+1）+25}$=$\frac{4}{（2t+1）+\frac{25}{2t+1}-2}$，
①当2t+1=0时，f（t）=0；
②当2t+1＞0时，（2t+1）+$\frac{25}{2t+1}$≥10，所以，f（t）∈（0，$\frac{1}{2}$]；
③当2t+1＜0时，（2t+1）+$\frac{25}{2t+1}$≤-10，所以，f（t）∈[-$\frac{1}{3}$，0）；
综合以上讨论得，f（t）∈[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，
由于存在非零实数x，y使得不等式a≥$\frac{x^2+2xy}{6x^2+y^2}$成立，
所以，a≥[$\frac{x^2+2xy}{6x^2+y^2}$]_min=-$\frac{1}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，涉及到分离参数法，换元法，分类讨论和函数思想，属于中档题．