Question

7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，F为B₁C₁的中点，D，E分别是棱BC，CC₁上的点，且AD⊥BC．
（1）求证；直线A₁F∥平面ADE；
（2）E为C₁C中点，能否在直线B₁B上找一点N，使得A₁N∥平面ADE？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由F为B₁C₁的中点，D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D不同于点C），AD⊥BC，知A₁F∥AD，由此能证明A₁F∥平面ADE．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在直线B₁B上存在一点N，且BN=3BB₁，使得A₁N∥平面ADE．

解答 （1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵F为B₁C₁的中点，D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D不同于点C），
且AD⊥BC，∴D是BC中点．
∴A₁F∥AD，
∵A₁F?平面ADE，AD?平面ADE，
∴A₁F∥平面ADE．        
（2）在直线B₁B上找一点N，使得A₁N∥平面ADE，证明如下：
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵A₁B₁=A₁C₁，F为B₁C₁的中点，∴A₁F⊥B₁C₁，
∵B₁C₁∥BC，∴A₁F⊥BC，∵A₁F∥AD，AD⊥DE，F为B₁C₁的中点，
∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC₁B₁．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，
设A₁B₁=A₁C₁=2，DF=2t，BN=λBB₁，λ≥0，N（0，1，λt），
则A（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，0，0），E（0，1，t），B（0，1，0），B₁（0，1，2t），${A}_{1}（\sqrt{3}，0，2t）$，
$\overrightarrow{DA}$=（$\sqrt{3}，0，0$），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，t），$\overrightarrow{{A}_{1}N}$=（-$\sqrt{3}$，1，（λ-2）t），
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=y+tz=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-t，1），
∵A₁N∥平面ADE，∴$\overrightarrow{{A}_{1}N}•\overrightarrow{n}$=0-t+（λ-2）t=0，
解得λ=3，∴在直线B₁B上存在一点N，且BN=3BB₁，使得A₁N∥平面ADE．

点评 本题考查线面平行的证明，考查使得直线平行于平面的点是否存在及位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．