Question

18．设函数f（x）=x²-mln （2x+1），其中x∈（-$\frac{1}{2}$，1]，且m＞0．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（-$\frac{1}{2}$，1]上是减函数，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）函数f（x）是否存在最小值，若存在最小值，求出取最小值时的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）令f′（x）≤0在（-$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，分离参数得m≥2x²+x，求出右侧函数的最大值即可得出m的范围；
（II）求出f（x）的极值点，对极值点是否在区间（-$\frac{1}{2}$，1]上进行讨论，得出f（x）的单调性，从而得出f（x）是否存在最小值．

解答 解：（I）f′（x）=2x-$\frac{2m}{2x+1}$=$\frac{2（2{x}^{2}+x-m）}{2x+1}$，
∵函数f（x）在区间（-$\frac{1}{2}$，1]上是减函数，
∴f′（x）≤0在（-$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，即m≥2x²+x在（-$\frac{1}{2}$，1]上恒成立．
设g（x）=2x²+x，则g（x）在（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]上是减函数，在（-$\frac{1}{4}$，1]上是增函数，
且g（-$\frac{1}{2}$）=0，g（1）=3，∴g_max（x）=g（1）=3，
∴m≥3．
（II）令f′（x）=0得x₁=$\frac{-1-\sqrt{1+8m}}{4}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$，
∵m＞0，∴x₁$＜-\frac{1}{2}$，x₂＞0．
①若0＜$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$＜1，即0＜m＜3，则当-$\frac{1}{2}$＜x＜x₂时，f′（x）＜0，
当x₂＜x≤1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-$\frac{1}{2}$，x₂）上单调递减，在（x₂，1]上低调递增，
∴当x=$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$时，f（x）取得最小值．
②若$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$≥1，即m≥3，当-$\frac{1}{2}$＜x≤1时，f′（x）≤0，
∴f（x）在区间（-$\frac{1}{2}$，1]上是减函数，
∴当x=1时，f（x）取得最小值．
综上，当0＜m＜3时，当x=$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$时，f（x）取得最小值；
当m≥3时，当x=1时，f（x）取得最小值．

点评 本题考查了导数与函数的单调性，函数最值得求解，分类讨论思想，属于中档题．