Question

7．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O的表面上，AB=1，AA₁′=2，则球O的半径R=6π；若E、F是棱AA₁和DD₁的中点，则直线EF被球O截得的线段长为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意可知正四棱柱的体对角线计算球的直径，求出对角线的长可得球的直径，求出半径，即可求出球的表面积；如图所示，OP 是球的半径，OQ是棱长的一半，求出PQ的2倍即可求出直线EF被球O截得的线段长．

解答 解：正四棱柱对角线为球直径，A₁C²=1+1+4，
所以R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以球的表面积为6π；
由已知所求EF是正四棱柱在球中其中一个截面的直径上的一部分，Q为EF的中点，
d=$\frac{1}{2}$，R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以PQ=$\sqrt{\frac{3}{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以2PQ=$\sqrt{5}$．
故答案为：6π；$\sqrt{5}$

点评 本题考查正四棱柱的外接球，球的表面积的计算，球的截面知识，考查计算能力，空间想象能力，正确利用条件求解直线EF被球O截得的线段长，是本题的难点，结合图形直观，易于解题．