Question

已知z为复数，z+2i和

z

2-i

均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z和|z|；
（Ⅱ）若z₁=

.

z

+

1

m-1

-

7

m+2

i的对应点在第四象限，求m的范围．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算,复数的基本概念

专题：数系的扩充和复数

分析：（Ⅰ）设z=a+bi（a，b∈R），由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质求得a、b的值，可得复数z和|z|．
（Ⅱ）化简z₁=

.

z

+

1

m-1

-

7

m+2

i，再根据它对应点在第四象限，求得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）设z=a+bi（a，b∈R），则由z+2i=a+（b+2）i为实数，∴b+2=0，∴b=-2．
则由

z

2-i

=

a+bi

2-i

=

(a+bi)(2+i)

5

=

2a-b

5

+

a+2b

5

i为实数，可得

a+2b

5

=0，∵b=-2，∴a=4．
∴z=4-2i，∴|z|=

42+(-2)2

=2

5

．…（6分）
（Ⅱ）z1=

.

z

+

1

m-1

-

7

m+2

i=4+

1

m-1

+(2-

7

m+2

)i=

4m-3

m-1

+

2m-3

m+2

i，又∵z₁在第四象限，
∴

4m-3 m-1 ＞0 2m-3 m+2 ＜0

，∴

m＞1或m＜ 3 4 -2＜m＜ 3 2

，∴-2＜m＜

3

4

或1＜m＜

3

2

．

点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，复数的模的定义，属于基础题．