Question

在△OAB中，已知O（0，0），A（8，0），B（0，6），△OAB的内切圆的方程为（x-2）²+（x-2）²=4，点P是圆上一点．
（1）求点P到直线l：4x+3y+11=0的距离的最大值和最小值；
（2）若S=|PO|²+|PA|²+|PB|²，求S的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）求出圆的圆心与半径，利用圆心与直线的距离公式求出距离，即可求出点P到直线l：3x+4y+3=0距离的最值；
（2）设出P的坐标的参数形式，利用S=|PO|²+|PA|²+|PB|²，求出表达式，利用圆的参数方程即可求S的最大值与最小值．

解答： 解：（1）∵△OAB的内切圆的方程为（x-2）²+（x-2）²=4，
∴圆心M（2，2），r=2，
∴M到直线l的距离d=

|4×2+3×2+11|

32+42

=

25

5

=5，
∴P（x，y）到直线l的距离最大值为d+r=5+2=7，最小值为d-r=5-2=3．
（2）设P（x，y），则点P满足

x=2+2cosθ y=2+2sinθ

，
则M=|PO|²+|PA|²+|PB|²=（2+2cosθ）²+（2+2sinθ）²+（2cosθ-6）²+（2+2sinθ）²+（2+2cosθ）²+（2sinθ-4）²]
=80-8cosθ，
∴当cosθ=1时，S取得最小值为S=80-8=72，
当cosθ=-1时，S取得最大值为S=80+8=88．

点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，圆与直线的关系，圆的参数方程，三角函数的应用，考查计算能力．