Question

8．已知函数f（x）=log_a（x+3）-1的图象经过定点A，且点A在直线mx+ny=1（m＜0，n＜0）上，则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最大值为-3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得函数的图象经过定点A的坐标，把点A的坐标代入直线mx+ny=1，利用基本不等式求得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最大值．

解答 解：∵令x+3=1，求得x=-2，y=-1，可得 函数f（x）=log_a（x+3）-1的图象经过定点A（-2，-1），
根据点A在直线mx+ny=1（m＜0，n＜0）上，可得-2m-n=1，
则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{-2m-n}{m}$+$\frac{-2m-n}{n}$=-3-$\frac{n}{m}$-$\frac{2m}{n}$=-3-（$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$）≤-3-2$\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{2m}{n}$时，取等号，
故$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$ 的最大值为-3-2$\sqrt{2}$，
故答案为：-3-2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，属于中档题．