Question

2．化简：$\frac{{C_m^m+2C_{m+1}^m+3C_{m+2}^m+…+nC_{m+n-1}^m}}{{C_{m+n}^{m+1}}}$=$\frac{（m+1）n+1}{m+2}$（用m、n表示）．

Answer 1

分析 设f（x）=（1+x）^m+2•（1+x）^m+1+3•（1+x）^m+2+…+n•（1+x）^m+n-1…①，则（1+x）f（x）=（1+x）^m+1+2•（1+x）^m+2+…+n•（1+x）^m+n…②，
两式相减求得 x²•f（x）=（1+x）^m-（1+x）^m+n+nx•（1+x）^m+n，故f（x）中含x^m项的系数即 x²•f（x）中含x^m+2项的系数．再利用组合数的计算公式即可得出结论．

解答 解：设f（x）=（1+x）^m+2•（1+x）^m+1+3•（1+x）^m+2+…+n•（1+x）^m+n-1…①，
则f（x）中含x^m 项的系数为${C}_{m}^{m}$+2${C}_{m+1}^{m}$+3${C}_{m+2}^{m}$+…+n${C}_{m+n-1}^{m}$
∴（1+x）f（x）=（1+x）^m+1+2（1+x）^m+2+3（1+x）^m+3+…+n•（1+x）^m+n…②，
①-②可得-xf（x）=（1+x）^m+（1+x）^m+1+（1+x）^m+2+…+（1+x）^m+n-1-n•（1+x）^m+n，
=$\frac{{（1+x）}^{m}•[1{-（1+x）}^{n}]}{1-（1+x）}$-n•（1+x）^m+n，
∴x²•f（x）=（1+x）^m-（1+x）^m+n+nx•（1+x）^m+n，
故f（x）中含x^m项的系数即 x²•f（x）中含x^m+2项的系数，
而x²•f（x）中含x^m+2项的系数为
-${C}_{m+n}^{m+2}$+n•${C}_{m+n}^{m+1}$=-$\frac{（m+n）!}{（m+2）!•（n-2）!}$+$\frac{n•（m+n）!}{（m+1）!•（n-1）!}$
=$\frac{-（n-1）+n（m+2）}{m+2}$•$\frac{（m+n）!}{（m+1）!•（n-1）!}$
=$\frac{（m+1）n+1}{m+2}$•${C}_{m+n}^{m+1}$，
∴C^m_m+2C^m_m+1+3C^m_m+2+…+nC^m_m+n-1=$\frac{（m+1）n+1}{m+2}$•C^m+1_m+n（m，n∈N^*）；
∴$\frac{{C_m^m+2C_{m+1}^m+3C_{m+2}^m+…+nC_{m+n-1}^m}}{{C_{m+n}^{m+1}}}$=$\frac{（m+1）n+1}{m+2}$．
故答案为：$\frac{（m+1）n+1}{m+2}$．

点评 本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的同项公式，组合数的计算公式的应用，属于难题．