Question

16．已知：在三棱锥P-ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE-BCHF的体积与三棱锥P-ABQ体积之比是$\frac{11}{18}$．

Answer 1

分析 由题意可得GH∥EF，且GH：EF=2：3，设出三棱锥P-ABQ体积为V，可得V_P-DCQ=$\frac{1}{4}V$，${V}_{P-QEF}=\frac{1}{4}V$，${V}_{P-EGHF}=\frac{5}{9}{V}_{P-EFQ}$=$\frac{5}{36}V$，作差求出多面体ADGE-BCHF的体积，则答案可求．

解答 解：∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
∴EF∥AB，DC∥AB，则EF∥DC，
又EF?平面PCD，DC?平面PCD，∴EF∥平面PCD，
又EF?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，∴EF∥GH，
设三棱锥P-ABQ体积为V，则V_P-DCQ=$\frac{1}{4}V$，${V}_{P-QEF}=\frac{1}{4}V$，
${V}_{P-EGHF}=\frac{5}{9}{V}_{P-EFQ}$=$\frac{5}{36}V$．
∴${V}_{ADGE-BCHF}=V-\frac{1}{4}V-\frac{5}{36}V$=$\frac{11}{18}V$．
∴多面体ADGE-BCHF的体积与三棱锥P-ABQ体积之比是$\frac{11}{18}$．
故答案为：$\frac{11}{18}$．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．