Question

2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-kt}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点，Ox为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=sinθ．
（1）写出直线l和曲线C的普通方程：
（2）若直线l和曲线C有两个不同的交点，求实数k的范围．

Answer 1

分析 （1）直接根据互化公式进行处理即可；
（2）结合直线与曲线有两个不同的公共点，联立方程组，然后根据判别式求解．

解答 解：（1）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-kt}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），得：
x+ky-2=0，
∵曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=sinθ，
∴ρ²cos²θ=ρsinθ，
∴x²=y，
∴直线l普通方程为：x+ky-2=0，
曲线C的直角坐标方程：x²=y，
（2）∵直线l和曲线C有两个不同的交点，
∴联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+ky-2-0}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，
∴kx²+x-2-0，
∴△=1-4k（-2）＞0，k≠0，
∴k＞-$\frac{1}{8}$，k≠0，
∴实数k的范围（-$\frac{1}{8}$，0）∪（0，+∞）．

点评 本题重点考查了直线的参数方程和普通方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化公式、直线与曲线的位置关系等知识，属于中档题．