Question

已知椭圆：的长轴长为4，且过点．

（１）求椭圆的方程；

（２）设、、是椭圆上的三点，若，点为线段的中点，、两点的坐标分别为、，求证：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）详见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）由已知列方程组可求得的值，进而可得椭圆的标准方程；（2）利用平面向量的坐标运算和待定系数法可得线段的中点的轨迹是以，为焦点的椭圆，有椭圆的定义最终可得．

试题解析：(1)由已知 　　　　　　　　　　　　　　　　　     ２分

解得. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　             ４分

椭圆的方程为．　　　　　　　　　　　　　　　　            ５分

（２）设，则，．   6分

由,

得,即．     ７分

是椭圆上一点，所以

，　　　　　　　　　　　       ８分

即

得，故．     ９分

又线段的中点的坐标为，　　　　　　　      10分

， 11分

线段的中点在椭圆上．　         12分

椭圆的两焦点恰为， 　　        13分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　           14分

考点：1、椭圆的定义、方程；2、应用平面向量解决解析几何问题．