Question

（2011•丰台区二模）已知椭圆C的长轴长为2

2

，一个焦点的坐标为（1，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．
①若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；
②若直线AP，BP的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上，且c=1，2a=2

2

，结合b²=a²-c²=可求b，进而可求椭圆的方程
（2）①当k=1时，直线AB的方程为y=x，联立直线方程与椭圆的方程可求A，B，由椭圆的性质可求P，而S△ABP=

1

2

AB•d（d为P到直线y=x的距离）可求
②证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．P(

2

，0)，联立方程

x2+2y2=2 y=kx

，消y整理得 （2k²+1）x²=2，可求A，B的坐标，代入斜率公式可得kAP•kBP=

y1

x1- 2

•

y2

x2- 2

=

y1y2

x1x2- 2 (x1+x2)+2

，可证

解答：解：（1）依题意椭圆的焦点在x轴上，且c=1，2a=2

2

，…（1分）
∴a=

2

，b²=a²-c²=1．                                     …（2分）
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．                                   …（4分）
（2）①

x2+2y2=2 y=x

…（5分）
∴

x= 6 3 y= 6 3

或 

x=- 6 3 y=- 6 3

，…（7分）
即A(

6

3

，

6

3

)，B(-

6

3

，-

6

3

)，P(

2

，0)．
所以S△ABP=

1

2

•

2

•

2 6

3

=

2 3

3

．                                     …（9分）
②证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
椭圆的右顶点为P(

2

，0)
联立方程

x2+2y2=2 y=kx

，消y整理得 （2k²+1）x²=2，
不妨设x₁＞0＞x₂，
∴x1=

2 2k2+1

，x2=-

2 2k2+1

；y1=k

2 2k2+1

，y2=-k

2 2k2+1

．…（12分）kAP•kBP=

y1

x1- 2

•

y2

x2- 2

=

y1y2

x1x2- 2 (x1+x2)+2

…（13分）=

-k2 2 2k2+1

2- 2 2k2+1

=

-2k2

-2+4k2+2

=-

1

2

∴k_AP•k_BP为定值-

1

2

．                             …（14分）

点评：本题主要考察了由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，由两点确定直线的斜率公式的应用，属于基本知识的综合应用．