Question

8．观察下列等式：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$；1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$；1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$；…，以此类推，1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$，其中m＜n，m，n∈N^*，则m-n=-6．

Answer 1

分析 裂项相消，求出m，n，即可得出结论．

解答 解：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{4}$
∵2＜m＜7，7＜n＜20，m，n∈N^*，
∴m=6，n=12．
∴m-n=-6．
故答案为：-6．

点评 本题考查类比推理，考查裂项相消方法的运用，正确运用裂项相消是关键．