2015年10月青岛大排档宰客一只大虾卖38元.被网友称为“天价大虾 .为了弄清楚大虾的实际价格与利润.记者调查了某虾类养殖户.在一个虾池中养殖一种虾.每季养殖成本为10000元.此虾的市场价格和虾池的产量均具有随机性.且互不影响.其具体情况如下表:虾池产量(kg)300500概率0.50.5虾的市场价格60100概率0.40.6(1)设 X表示在这个虾池� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．2015年10月青岛大排档宰客一只大虾卖38元，被网友称为“天价大虾”，为了弄清楚大虾的实际价格与利润，记者调查了某虾类养殖户，在一个虾池中养殖一种虾，每季养殖成本为10000元，此虾的市场价格和虾池的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

虾池产量（kg）	300	500
概率	0.5	0.5
虾的市场价格（元/（kg）	60	100
概率	0.4	0.6

（1）设 X表示在这个虾池养殖1季这种虾的利润，求 X的分布列和期望；
（2）若在这个虾池中连续3季养殖这种虾，求这3季中至少有2季的利润不少于20000元的概率．

分析（1）由利润=产量×市场价格-成本，得X所有可能的取值40000，20000，8000，由此求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
（2）设C_i表示事件“第i季利润不少于20000元”（i=1，2，3），由题意知C₁，C₂，C₃相互独立，由此能求出3季中至少有2季的利润不少于20000元的概率．

解答解：（1）因为利润=产量×市场价格-成本，
所以 X所有可能的取值为500×100-10000=40000，
500×60-10000=20000，300×100-10000=20000，300×60-10000=8000，
P（ X=40000）=0.5×0.6=0.3，
P（ X=20000）=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5，
P（ X=8000）=0.5×0.4=0.2，
∴X的分布列为：

X	40000	20000	8000
P	0.3	0.5	0.2

则E（X）=40000×0.3+20000×0.5+8000×0.2=23600
（2）设C_i表示事件“第i季利润不少于20000元”（i=1，2，3），
由题意知C₁，C₂，C₃相互独立，
由（1）知，P（C_i）=P（ X=40000）+P（ X=20000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3）
3季的利润均不少于20000元的概率为${P}（{{C_1}{C_2}{C_3}}）={P}（{C_1}）{P}（{C_2}）{P}（{C_3}）={0.8^3}=0.512$，
3季中有2季利润不少于20000元的概率为$C_3^2×{（{0.8}）^2}×0.2=0.384$，
∴3季中至少有2季的利润不少于20000元的概率为0.512+0.384=0.896．

点评本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．