Question

试比较下列各式的大小（不写过程）
（1）

2

-1与

3

-

2

；
（2）

3

-

2

与

4

-

3

通过上式请你推测出

n

-

n-1

与

n+1

-

n

，n≥2，n∈N^*的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：把给出的两组数作查后再求平方差的符号，得到；两组数的大小关系，从而推测出

n

-

n-1

与

n+1

-

n

，n≥2，n∈N^*的大小，运用同样的方法加以证明．

解答：解：（1）因为(

2

-1)-(

3

-

2

)=2

2

-(

3

+1)，而(2

2

)2-(

3

+1)2=4-2

3

=

16

-

12

＞0，
所以

2

-1＞

3

-

2

；
（2）因为(

3

-

2

)-(

4

-

3

)=2

3

-(

4

+

2

)，而(2

3

)2-(

4

+

2

)2=

36

-

32

＞0，
所以

3

-

2

＞

4

-

3

；
由上推测

n

-

n-1

＞

n+1

-

n

，n≥2，n∈N^*．
事实上，(

n

-

n-1

)-(

n+1

-

n

)=2

n

-(

n-1

+

n+1

)，
因为(2

n

)2-(

n-1

+

n+1

)2=2n-2

n-1

n+1

=(

n-1

-

n+1

)2＞0．

点评：本题考查了不等式的大小比较，考查了归纳推理，训练了平方差法比较两个正数的大小，是基础题．