Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．
（1）求角A的值；
（2）若$b+c=\sqrt{10}\;，\;\;a=2$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得sinB=2sinBcosA，结合sinB≠0，可求cosA，进而可求A的值．
（2）由已知及余弦定理，平方和公式可求bc的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵acosC+ccosA=2bcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
∴sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，
∵sinB≠0，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，可得：$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵$cosA=\frac{1}{2}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$，$b+c=\sqrt{10}\;，\;\;a=2$，
∴b²+c²=bc+4，可得：（b+c）²=3bc+4=10，可得：bc=2．
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，平方和公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．