Question

12．平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知$\overrightarrow{DP}$⊥$\overrightarrow{AC}$，且|$\overrightarrow{DP}$|=2，$\overrightarrow{DM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DO}$，$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$．设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{MN}$；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量基本定理即可用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{MN}$；
（Ⅱ）根据向量数量积的定义即可求$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DB}$的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}×\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{6}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}a-\frac{1}{6}b$．-----------------------（6分）
（Ⅱ）$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DP}•2\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DP}•2（\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PO）}=2{|{\overrightarrow{DP}}|^2}+\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{PO}$--------------------（9分）
∵$\overrightarrow{DP}⊥\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{PO}=0$，又$|{\overrightarrow{DP}}|=2$，
∴$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DB}=2|\overrightarrow{DP}{|^2}=2×{2^2}=8$．-----------------------（12分）

点评 本题主要考查向量基本定理的应用以及向量数量积的计算，比较基础．