Question

20．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，其导函数f′（x）满足f′（x）＜m＜-1，则下列结论中一定错误的是（　　）

• A． f（$\frac{1}{m}$）＞-$\frac{1}{m}$
• B． f（$\frac{1}{m}$）＞-$\frac{1}{m+1}$
• C． f（$\frac{1}{m+1}$）＜$\frac{m}{m+1}$
• D． f（$\frac{1}{m+1}$）＜-$\frac{m+2}{m+1}$

Answer 1

分析 根据导数的概念得出 $\frac{f（x）-f（0）}{x}$＜m＜-1，用x=$\frac{1}{m+1}$代入可判断出f（ $\frac{1}{m+1}$）＞-$\frac{1}{m+1}$，即可判断答案．

解答 解；∵f′（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）-f（0）}{x-0}$，f′（x）＜m＜-1，
∴$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＜m＜-1，
即 $\frac{f（x）+1}{x}$＜m＜-1，
当x=$\frac{1}{m+1}$时，f（$\frac{1}{m+1}$）+1＞$\frac{1}{m+1}$×m=$\frac{m}{m+1}$，
即f（$\frac{1}{m+1}$）＞$\frac{m}{m+1}$-1=-$\frac{1}{m+1}$，
故f（$\frac{1}{m+1}$）＞-$\frac{1}{m+1}$，
所以f（$\frac{1}{m+1}$）＜$\frac{m}{m+1}$，一定出错，
故选：C．

点评 本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．