Question

17．已知数列{a_n}满足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）n+1，n＞3}\\{{a}^{n-2}，1≤n≤3}\end{array}\right.$（n∈N^*），若对于任意的n∈N^*都有a_n＞a_n+1，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，$\frac{5}{9}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{9}$）
• D． （$\frac{5}{9}$，1）

Answer 1

分析 由题意结合分段函数的单调性列关于a的不等式组，则答案可求．

解答 解：由a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）n+1，n＞3}\\{{a}^{n-2}，1≤n≤3}\end{array}\right.$（n∈N^*），且对于任意的n∈N^*都有a_n＞a_n+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{1-2a＜0}\\{0＜a＜1}\\{a＞4（1-2a）+1}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{2}＜a＜\frac{5}{9}$．
∴实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{9}$）．
故选：C．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，考查了分段函数单调性，是中档题．