Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=2n-3．求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 确定奇数项、偶数项均以2为公差的等差数列，可得a_2n-1=2n，a_2n=2n-5，再分类讨论，运用等差数列的求和公式，即可得出结论．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=2n-3，
∴a₂+a₁=-1，a₃+a₂=1，a₄+a₃=3，a₅+a₄=5，a₆+a₅=7，…，
∴a₂=-3，a₃=4，a₄=-1，a₅=6，a₆=1，…，
∴奇数项、偶数项均以2为公差的等差数列，
∴a_2n-1=2n，a_2n=2n-5，
n=2k时，S_n=$\frac{k（2+2k）}{2}$+$\frac{k（-3+2k-5）}{2}$
=2k²-3k=$\frac{n（n-3）}{2}$；
n=2k-1时，S_n=S_2k-a_2k=2k²-3k-2k+5
=2k²-5k+5=$\frac{{n}^{2}-3n+6}{2}$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n-3）}{2}，n是偶数}\\{\frac{{n}^{2}-3n+6}{2}，n是奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．