Question

15．已知函数f（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²+mx在x=1处有极小值，g（x）=f（x）-$\frac{2}{3}$x³-$\frac{3}{4}$x²+x-alnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，对任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得f′（1）=0，求出m值，把m值代入原函数，求导得到导函数的零点，进一步求得原函数的单调区间；
（2）假设存在实数a使得对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立，把问题转化为g（x₁）-x₁＜g（x₂）-x₂恒成立，然后构造函数h（x）=f（x）-x，利用导函数求出使函数h（x）在（0，+∞）上为增函数的a的取值范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²+mx，∴f′（x）=3x²+3x+m，
∵f（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²+mx在x=1处有极小值，∴f′（1）=6+m=0，得m=-6．
∴f（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²-6x，则f′（x）=3（x²+x-2）=3（x-1）（x+2）．
∴当x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（-2，1）时，f′（x）＜0，
则f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（1，+∞），单调减区间为（-2，1）；
（2）g（x）=f（x）-$\frac{2}{3}$x³-$\frac{3}{4}$x²+x-alnx=x³+$\frac{3}{2}$x²-6x-$\frac{2}{3}$x³-$\frac{3}{4}$x²+x-alnx=$\frac{1}{3}{x}^{3}$$+\frac{3}{4}{x}^{2}$-5x-alnx．
假设存在实数a使得对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立，
不妨设0＜x₁＜x₂，只要g（x₁）-g（x₂）＜x₁-x₂，
即：g（x₁）-x₁＜g（x₂）-x₂．
令h（x）=g（x）-x，只要 h（x）在（0，+∞）为增函数即可．
又函数h（x）=g（x）-x=$\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{3}{4}{x}^{2}-6x-alnx$，
则h′（x）=${x}^{2}+\frac{3}{2}x-6-\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{3}+3{x}^{2}-12x-2a}{2x}$．
要使h'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则需2x³+3x²-12x-2a≥0在（0，+∞）上恒成立，
即2a≤2x³+3x²-12x．
令t（x）=2x³+3x²-12x，则t′（x）=6x²+6x-12=6（x+2）（x-1）．
∴当x∈（0，1）时，t（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，t（x）单调递增，
则t（x）_min=t（1）=-7．
∴2a≤-7，得a$≤-\frac{7}{2}$．
∴存在实数a$≤-\frac{7}{2}$，对任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了数学转化思想和分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法求参数的取值范围，属难题．