若O与F1.F2分别是椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的中心和左.右焦点.过O做直线交椭圆C于P.Q两点.若|$\overrightarrow{PQ}$|的最大值是4.△PF1F2的周长是4+2$\sqrt{3}$．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)设不过点O的直线l与椭圆C交于A.B两点.满足直线OA.AB.OB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

10．若O与F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的中心和左、右焦点，过O做直线交椭圆C于P，Q两点，若|$\overrightarrow{PQ}$|的最大值是4，△PF₁F₂的周长是4+2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设不过点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，满足直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．

分析（1）由题意可得：2a=4，2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，△＞0．由直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k²，利用根与系数的关系可得k²．利用|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，利用点到直线的距离公式可得原点O到直线AB的距离d，可得S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d，及其基本不等式的性质即可得出．

解答解：（1）由题意可得：2a=4，2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆方程C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0，可得：1+4k²＞m²．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∵直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k²，
∴（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂，
∴mk（x₁+x₂）+m²=0，
∴-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$×k+m=0，可得k²=$\frac{1}{4}$．
解得k=$±\frac{1}{2}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-4×\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}]}$=$\sqrt{5（2-{m}^{2}）}$．
原点O到直线AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{5（2-{m}^{2}）}$×$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=|m|$•\sqrt{2-{m}^{2}}$≤$\frac{{m}^{2}+2-{m}^{2}}{2}$=1．当且仅当|m|=1时取等号．
∴△OAB面积的取值范围是（0，1]．

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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时刻	0：00	3：00	6：00	9：00	12：00	15：00	18：00	21：00	24：00
水深	5.0	7.5	5.0	2.5	5.0	7.5	5.0	2.5	5.0

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5：30至6：00

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