Question

3．设函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{a}{2}{x^2}$+bx+c，其中a＞0，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．
（1）确定b，c的值．
（2）若过点（0，2）能且只能作曲线y=f（x）的一条切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用曲线f（x）在x=0处的切线方程y=1，列出方程解出b、c；
（2）构建函数，利用导数求出函数的极大值和极小值，令其极大值大于0，其极小值大于0即可解决．

解答 解：（1）求导函数可得f′（x）=x²-ax+b，
∵曲线f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{a}{2}{x^2}$+bx+c在x=0处的切线方程y=1，
∴f′（0）=b=0，f（0）=c=1，
∴b=0，c=1；
（2）由题意f′（x）=x²-ax．
由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），
而点（0，2）在切线上，则2-f（t）=f'（t）（-t），即有$\frac{2}{3}$t³-$\frac{1}{2}$at²+1=0
设g（t）=$\frac{2}{3}$t³-$\frac{1}{2}$at²+1，g′（t）=2t²-at，则过点（0，2）可作y=f（x）的一条切线，
等价于方程$\frac{2}{3}$t³-$\frac{1}{2}$at²+1=0有一个实根，
若a＞0，则由2t²-at＞0可得t＜0或t＞$\frac{a}{2}$，2t²-at＜0可得0＜t＜$\frac{a}{2}$
∴函数的单调递增区间是（-∞，0），（$\frac{a}{2}$，+∞），单调减区间是（0，$\frac{a}{2}$）
由g（t）的单调性知：要使g（t）=0有1个实根，则g（0）=1＞0，且g（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{3}}{24}$+1＞0，
∴0＜a＜2$\root{3}{3}$．

点评 本题主要考查导数的概念及应用：求极值，解题中必须注意过某点的切线与在某点处的切线的区别，本题就是一个很好的例子，同时考查了字母的运算能力，是一道中档题．