Question

20．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是正三角形，点D是BC的中点，BC=BB₁．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）试在棱CC₁上找一点M，使得MB⊥AB₁，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结A₁B，交AB₁于点O，连结OD，由O为A₁B中点，又D为BC中点，可得A₁C∥OD，即可证明A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）当M为棱CC₁中点时，易证△B₁BD≌△BCM，可证∠BB₁D=∠CBM，又∠BB₁D+∠BDB₁=$\frac{π}{2}$，可得BM⊥B₁D，易证明AD⊥BC，由平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C，AD?平面ABC，可证AD⊥平面BB₁C₁C，可证AD⊥BM，即可证明BM⊥平面AB₁D，从而可证MB⊥AB₁．

解答
（本题满分为12分）
证明：（Ⅰ）连结A₁B，交AB₁于点O，连结OD，…1分
在ABB₁A₁中，O为A₁B中点．
又因为D为BC中点，
所以A₁C∥OD，…2分
因为A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
所以A₁C∥平面AB₁D，…4分
解：（Ⅱ）当M为棱CC₁中点时，MB⊥AB₁，理由如下：…5分
因为在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，
所以四边形BCC₁B₁为正方形．
因为M为棱CC₁中点，D是BC的中点，易证△B₁BD≌△BCM，…6分
所以∠BB₁D=∠CBM，
又因为∠BB₁D+∠BDB₁=$\frac{π}{2}$，
所以∠CBM+∠BDB₁=$\frac{π}{2}$，
故BM⊥B₁D，…7分
因为△ABC是正三角形，D是BC的中点，
所以AD⊥BC．
因为平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C，AD?平面ABC，
所以AD⊥平面BB₁C₁C，…9分
因为BM?平面BB₁C₁C，
所以AD⊥BM．
因为AD∩B₁D=D，AD，B₁D?平面AB₁D，
所以BM⊥平面AB₁D，…11分
因为AB₁?平面AB₁D，
所以MB⊥AB₁，…12分．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定与性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．