Question

用三角法求y=

1+λ

1+λ2

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：通过观察原函数解析式，会发现令λ=tanx，且-

π

2

＜x＜

π

2

，带入可将根号去掉，带入并化简得：y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，所以求该三角函数在(-

π

2

，

π

2

)上的值域即可．

解答： 解：令λ=tanx，-

π

2

＜x＜

π

2

，则1+λ²=1+tan2x=

1

cos2x

；
∴y=cosx（1+tanx）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)；
∵-

π

4

＜x+

π

4

＜

3π

4

，∴-

2

2

＜sin(x+

π

4

)≤1；
∴-1＜

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，即-1＜y≤

2

；
∴原函数的值域为（-1，

2

]．

点评：本题考查切化弦公式，两角和的正弦公式，正弦函数在某区间上的值域，掌握这种将原函数转变成三角函数，求三角函数值域的方法．