Question

如图，已知M（m，m²），N（n，n²）是抛物线C：y=x²上两个不同点，且m²+n²=1，m+n≠0．直线l是线段MN的垂直平分线．设椭圆E的方程为

x2

2

+

y2

a

=1（a＞0，a≠2）．
（1）当M，N在抛物线C上移动时，求直线l斜率k的取值范围；
（2）已知直线l与抛物线C交于A，B两个不同点，与椭圆E交于P，Q两个不同点．设AB中点为R，PQ中点为S，若

OR

•

OS

=0，求椭圆E离心率的范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先用M，N的坐标表示出直线MN的斜率，进而表示出直线l的斜率，根据m²+n²=1，由m²+n²≥2mn求得m和n的不等式关系，进而求得k的范围．
（2）先根据题意整理出直线l的方程，进而代入椭圆和抛物线方程，利用P，S表示出

OR

•

OS

=0，求得a和k的关系，利用（1）中k的范围求得a的范围，进而求得椭圆离心率的范围．

解答： 解：（1）∵直线MN的斜率k_MN=m+n，
又∵l⊥MN，m+n≠0，∴直线l的斜率k=-

1

m+n

∵m²+n²=1，由m²+n²≥2mn，得2（m²+n²）≥（m+n）²，
即2≥（m+n）²，∴|m+n|≤

2

因M、N两点不同，∴0＜|m+n|＜

2

，
∴k∈(-∞，-

2

)∪(

2

，+∞)；
（2））∵l方程为：y-

m2+n2

2

=k（x-

m+n

2

），
又∵m²+n²=1，m+n=-

1

k

，y-

1

2

=k（x+

1

2k

），
∴l：y=kx+1，代入抛物线和椭圆方程并整理得：x²-kx-1=0（1），
（a+2k²）x²+4kx+2-2a=0（2）
易知方程（1）的判别式△₁=k²+4＞0恒成立，方程（2）的判别式△₂=8a（2k²+a-1）
∵k²＞

1

2

，a＞0，
∴2k²+a-1＞a＞0，∴△₂＞0恒成立
∵R（

k

2

，

k2

2

+1），S（-

2k

a+2k2

，

a

a+2k2

），
由

OR

•

OS

=0得：-k2+a(

k2

2

+1)=0，
∴a=

2k2

k2+2

，
∵k²＞

1

2

，∴a=2-

4

k2+2

＞

2

5

，

2

5

＜a＜2，
∴

2-a 2

=e，∴a=2-2e²＞

2

5

，
∴e²＜

4

5

，∴0＜e＜

2 5

5

，
∴椭圆E离心率的取值范围是（0，

2 5

5

]．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题．