Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+3n，且a₁=1，求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由已知利用待定系数法构造等比数列，然后由等比数列的通项公式得答案．

解答： 解：由a_n+1=3a_n+3n，得
a_n+1+x（n+1）+y=3（a_n+xn+y），
即a_n+1=3a_n+3xn+3y-x（n+1）-y=3a_n+2xn+2y-x．
类比a_n+1=3a_n+3n，
只需2xn+2y-x=3n
2x=3，2y-x=0，
x=

3

2

，y=

3

4

．
故an+1+

3

2

(n+1)+

3

4

=3(an+

3

2

n+

3

4

)．
数列{an+

3

2

n+

3

4

}是首项为1+

3

2

+

3

4

=

13

4

，公比为3的等比数列．
故an+

3

2

n+

3

4

=

13

4

•3n-1．
an=

13

4

•3n-1-

3

2

n-

3

4

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了利用待定系数法构造等比数列，是中档题．