Question

【题目】如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）法一、取中点，连接，，由三角形的中位线定理可得，且，再由已知得，且，得到，且，说明四边形为平行四边形，可得，由线面平行的判定得到平面；

法二、证明平面，转化为证明平面平面，在中，过作，垂足为，连接，由已知底面，可得，通过求解直角三角形得到，由面面平行的判定可得平面平面，则结论得证；

（2）连接，证得，进一步得到平面平面，在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角．然后求解直角三角形可得直线与平面所成角的正弦值．

（1）证明：法一、如图，取中点，连接，，

为的中点，

，且，

又，，且，

，且，

则，且，

四边形为平行四边形，则，

平面，平面，

平面；

法二、

在中，过作，垂足为，连接，

在中，由已知，，得，

，

，则，

在中，

， ，

由余弦定理得：，

，

而在中， ，

，即，

，则平面．

由底面，得，又，

，则平面．

，

平面平面，则MN∥平面；

（2）解：在中，由，，，得

．

，则，

底面，平面，

平面平面，且平面平面，

平面，则平面平面．

在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角．

在中，由是的中点，得

，

在中，由，得，

．

直线与平面所成角的正弦值为．