Question

【题目】已知圆O：，直线l：．

若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当为锐角时，求k的取值范围；

若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，则直线CD是否过定点？若是，求出定点，并说明理由．

若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形EGFH的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）直线CD恒过定点．详见解析（3）

【解析】

(1)首先可以设出两点坐标，然后联立圆与直线方程并得出的值，最后根据以及即可得出结果；

(2)首先将带入直线方程得出直线的解析式，然后设出点坐标并写出以为直径的圆的方程，最后将其与圆方程联立即可得出直线的方程并根据直线的方程得出定点坐标；

(3)首先可以设圆心到直线的距离分别为、，然后通过勾股定理即可得出的值，再然后写出与，通过即可求出四边形的面积的最大值。

(1)根据题意，设，，

将代入，整理得到：，

则有，解可得：，

而，

为锐角，

又由，

解可得：，

又由，则，

解可得：或；

(2)时，直线l的方程为：，

设，则以为直径的圆的方程为，

即，将其和圆O：联立，消去平方项得：，即为直线的方程，

将其化为知该直线恒过定点，

故直线CD恒过定点；

(3)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为、，

则，

所以，，

所以，

当且仅当即时，取“”，

所以四边形EGFH的面积的最大值为。