Question

【题目】如图，设点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点，，.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）直线过点，与轨迹交于两点，过点的直线与直线交于点，求证：轴.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

（1）先设，由题中条件得到，根据，得到，进而可得出结果；

（2）先由题意设，得到直线的方程为，进而求出；再由点坐标，得到直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理，求出点纵坐标，进而可证明结论成立.

（1）由题中条件，设，，

且，

又与轴交于，故，

，，

故轨迹的方程为.

（2）设点为直线与轨迹的交点，由（1）设，

则直线的方程为，

故直线与的交点为，

又，直线的方程为，

即，

联立抛物线，得：，

由韦达定理，两点纵坐标乘积为，

故点纵坐标为，与点纵坐标相同，

又，轴.