Question

【题目】已知函数f（x）=lnx，g（x）= ﹣ （x为实常数）．
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[ ]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ + ，

∴φ′（x）= = ；

x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0

∴函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增

∴x=4时，φ（x）min=2ln2﹣

（2）解：方程e2f（x）=g（x）可化为x2= ﹣ ，∴a= ﹣x3，

设y= ﹣x3，则y′= ﹣3x2，

∵x∈[ ]

∴函数在[ ]上单调递增，在[ ，1]上单调递减

∵x= 时，y= ；x= 时，y= ；x=1时，y= ，

∴y∈[ ]

∴a∈[ ]

【解析】（1）求导数，求得函数的单调性，即可求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）化简方程，分离参数，再构建新函数，确定函数的单调性，求出函数的值域，即可求实数a的取值范围．