题目内容

（2013•牡丹江一模）某大学高等数学老师这学期分别用A，B两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：
（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？
（Ⅱ）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；
（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
甲班 乙班 合计
优秀
不优秀
合计
下面临界值表仅供参考：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）
分析：（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60分-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，可得乙班的平均分高．
（Ⅱ）记成绩为86分的同学为A，B其他不低于80分的同学为 C、D、E、F，一切可能结果组成的基本事件有15个，
“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有9个，由此求得所求事件的概率．
（Ⅲ）计算K2=
4×(3×10×-10×17)2
13×27×20×20
≈5.584＞5.024，由此得出结论．
解答：解：（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60分-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，
所以乙班的平均分高．-----（3分）
（Ⅱ）记成绩为86分的同学为A，B其他不低于80分的同学为 C、D、E、F，
“从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：
（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（A，F）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（B，F）、
（C，D）、（C，E）、（C，F）、（D，E）、（D，F）、（E，F），一共15个，
“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：
（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（A，F）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（B，F）
共9个，------（5分）
故 所求事件的概率为 P=
9
15
=
3
5
．-----（7分）
甲班 乙班 合计
优秀 3 10 13
不优秀 17 10 27
合计 20 20 40
---------（9分）
（Ⅲ）K2=
4×(3×10×-10×17)2
13×27×20×20
≈5.584＞5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，
可以认为成绩优秀与教学方式有关．------（12分）
点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式，茎叶图以及独立性检验，属于基础题．
练习册系列答案
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.
z
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x
．
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1
3
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恒成立，求实数k的取值范围；
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2
n+1
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