题目内容
(2013•牡丹江一模)已知函数f(x)=
.
(1)若函数f(x)在区间(a,a+
)(a>0)上存在极值点,求实数a的取值范围;
(2)知果当x≥1时,不等式f(x)≥
恒成立,求实数k的取值范围;
(3)求证:[(n+1)!]2>(n+1)en-2+
,这里n∈N*,(n+1)!=1×2×3×…×(n+1),e为自然对数的底数.
1+1nx |
x |
(1)若函数f(x)在区间(a,a+
1 |
3 |
(2)知果当x≥1时,不等式f(x)≥
k |
x+1 |
(3)求证:[(n+1)!]2>(n+1)en-2+
2 |
n+1 |
分析:(1)先求出定义域,再对f(x)进行求导,利用导数研究函数f(x)的极值点问题,先求出极值点;
(2)已知条件当x≥1时,不等式f(x)≥
恒成立,将问题转化为k≤
,利用了常数分离法,只要求出
的最小值即可,可以令新的函数g(x),然后利用导数研究函数g(x)的最值问题,从而求出k的范围;
(3)利用(2)的恒成立式子,可有ln[k(k+1)]>1-
,利用此不等式对所要证明的不等式两边进行放缩,从而进行证明;
(2)已知条件当x≥1时,不等式f(x)≥
k |
x+1 |
(x+1)(1+lnx) |
x |
(x+1)(1+lnx) |
x |
(3)利用(2)的恒成立式子,可有ln[k(k+1)]>1-
2 |
k(k+1) |
解答:解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
=-
,
f′(x)>0?lnx<0?0<x<1,
f′(x)<0?lnx>0?x>1,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,函数f(x)在x=1处取得唯一的极值,
由题意,a>0,且a<1<a+
,解得
<a<1,
所以实数a的取值范围为
<a<1;
(2)当x≥1时,f(x)≥
?
≥
?k≤
,
令g(x)=
(x≥1),由题意,k≤g(x)在[1,+∞)上恒成立,
g′(x)=
=
,
令h(x)=x-lnx(x≥1),则h′(x)=1-
≥0,当且仅当x=1时取等号,
所以h(x)=x-lnx在[1,+∞)上单调递增,h(x)≥h(1)=1>0,
因此g′(x)=
>0,g(x)在[1,+∞)上单调递增,g(x)min=g(1)=2,
所以k≤2;
(3)由(2),当x≥1时,f(x)≥
,即
≥
,
从而lnx≥1-
>1-
,
令x=k(k+1),k∈N+,则有ln[k(k+1)]>1-
,
分别令k=1,2,3,…,n(n≥2)则有ln(1×2)>1-
,ln(2×3)>1-
,…,
ln[n(n-1)]>1-
,ln[n(n+1)]>1-
,
将这个不等式左右两端分别相加,则得,
ln[1×22×32×…×n2(n+1)]>n-2[
+
+…+
]=n-2+
,
故1×22×32×…×n2(n+1)>en-2+
,从而[(n+1)!]2>(n+1)en-2+
,
当n=1时,不等式显然成立;
所以?n∈N+,[(n+1)!]2>(n+1)en-2+
;
| ||
x2 |
lnx |
x2 |
f′(x)>0?lnx<0?0<x<1,
f′(x)<0?lnx>0?x>1,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,函数f(x)在x=1处取得唯一的极值,
由题意,a>0,且a<1<a+
1 |
3 |
2 |
3 |
所以实数a的取值范围为
2 |
3 |
(2)当x≥1时,f(x)≥
k |
x+1 |
1+lnx |
x |
k |
x+1 |
(x+1)(1+lnx) |
x |
令g(x)=
(x+1)(1+lnx) |
x |
g′(x)=
[(x+1)(1+lnx)]′•x-(x+1)(1+lnx) |
x2 |
x-lnx |
x2 |
令h(x)=x-lnx(x≥1),则h′(x)=1-
1 |
x |
所以h(x)=x-lnx在[1,+∞)上单调递增,h(x)≥h(1)=1>0,
因此g′(x)=
h(x) |
x2 |
所以k≤2;
(3)由(2),当x≥1时,f(x)≥
2 |
x+1 |
1+lnx |
x |
2 |
x+1 |
从而lnx≥1-
2 |
x+1 |
2 |
x |
令x=k(k+1),k∈N+,则有ln[k(k+1)]>1-
2 |
k(k+1) |
分别令k=1,2,3,…,n(n≥2)则有ln(1×2)>1-
2 |
1×2 |
2 |
2×3 |
ln[n(n-1)]>1-
2 |
(n-1)n |
2 |
n(n+1) |
将这个不等式左右两端分别相加,则得,
ln[1×22×32×…×n2(n+1)]>n-2[
1 |
1×2 |
1 |
2×3 |
1 |
n(n+1) |
2 |
n+1 |
故1×22×32×…×n2(n+1)>en-2+
2 |
n+1 |
2 |
n+1 |
当n=1时,不等式显然成立;
所以?n∈N+,[(n+1)!]2>(n+1)en-2+
2 |
n+1 |
点评:此题难度比较大,考查了利用导数研究函数的单调性和最值问题,第三问难度最大,需要对不等式的两边进行放缩,巧妙利用第(2)问的条件得到一个不等式,利用这个不等式进行放缩证明,是我们常用的方法;
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