题目内容

(2013•牡丹江一模)已知函数f(x)=xlnx.
(Ⅰ)求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程;
(Ⅲ)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数)
分析:(I)先对函数求导,研究函数的单调区间,根据F′(x)>0求得的区间是单调增区间,F′(x)<0求得的区间是单调减区间,求出极值.
(II)求出曲线方程的导函数,利用导函数中即可求出切线方程的斜率,根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可;
(III)求导:g'(x)=lnx+1-a解g'(x)=0,得x=ea-1,得出在区间(0,ea-1)上,g(x)为递减函数,在区间(ea-1,+∞)上,g(x)为递增函数,下面对a进行讨论:当ea-1≤1,当1<ea-1<e,当ea-1≥e,从而得出g(x)的最小值.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=lnx+1,x>0,…(2分)
由f'(x)=0得x=
1
e
,…(3分)
所以,f(x)在区间(0,
1
e
)
上单调递减,在区间(
1
e
,+∞)
上单调递增.…(4分)
所以,x=
1
e
是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在.…(5分)
(Ⅱ)设切点坐标为(x0,y0),则y0=x0lnx0,…(6分)
切线的斜率为lnx0+1,
所以,lnx0+1=
y0+1
x0
,…(7分)
解得x0=1,y0=0,…(8分)
所以直线l的方程为x-y-1=0.…(9分)
(Ⅲ)g(x)=xlnx-a(x-1),
则g'(x)=lnx+1-a,…(10分)
解g'(x)=0,得x=ea-1
所以,在区间(0,ea-1)上,g(x)为递减函数,
在区间(ea-1,+∞)上,g(x)为递增函数.…(11分)
当ea-1≤1,即a≤1时,在区间[1,e]上,g(x)为递增函数,
所以g(x)最小值为g(1)=0.…(12分)
当1<ea-1<e,即1<a<2时,g(x)的最小值为g(ea-1)=a-ea-1.…(13分)
当ea-1≥e,即a≥2时,在区间[1,e]上,g(x)为递减函数,
所以g(x)最小值为g(e)=a+e-ae.…(14分)
综上,当a≤1时,g(x)最小值为0;当1<a<2时,g(x)的最小值a-ea-1;当a≥2时,g(x)的最小值为a+e-ae.
点评:本题考查了导数的应用:利用导数判断函数的单调性及求单调区间;函数在区间上的最值的求解,其一般步骤是:先求极值,比较函数在区间内所有极值与端点函数.若函数在区间上有唯一的极大(小)值,则该极值就是相应的最大(小)值.
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