Question

13．已知函数$f（x）={log_a}\frac{2-x}{2+x}$（a＞0，且a≠1），且f（-1）=1，
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的定义域；
（3）判断函数f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根据条件f（-1）=1，即可求a的值；
（2）根据对数函数的性质即可求函数f（x）的定义域；
（3）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性．

解答 解：（1）由f（-1）=log_a3=1，得a=3；…（4分）．
（2）由$f（x）={log_3}\frac{2-x}{2+x}$有$\frac{2-x}{2+x}＞0$，解得-2＜x＜2，
则函数f（x）的定义域为（-2，2）…（4分）．；
（3）函数f（x）的定义域为（-2，2）且$f（-x）={log_3}\frac{2+x}{2-x}={log_3}{（{\frac{2-x}{2+x}}）^{-1}}=-{log_3}\frac{2-x}{2+x}=-f（x）$
则函数f（x）为（-2，2）上的奇函数．…（4分）

点评 本题主要考查函数定义域的求解，函数奇偶性的判断，根据对数函数的性质结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键．