题目内容

7．已知函数f（x）=x2+$\frac{a}{x}$（x≠0，a∈R）在（0，2）上为减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，16]B．（-∞，16）C．（16，+∞）D．[16，+∞）

分析 求出函数的导数，问题转化为a≥2x3在（0，2）恒成立，从而求出a的范围即可．

解答 解：f（x）=x2+$\frac{a}{x}$，f′（x）=2x-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}-a}{{x}^{2}}$，
若函数f（x）=x2+$\frac{a}{x}$（x≠0，a∈R）在（0，2）上为减函数，
则2x3-a≤0在（0，2）恒成立，
∴a≥2x3在（0，2）恒成立，
而2x3＜16，
故a≥16，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道基础题．

练习册系列答案
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17．“4＜k＜10”是“方程$\frac{x^2}{k-4}$+$\frac{y^2}{10-k}$=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
18．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，$AD=\frac{1}{2}BC=2$，∠ABC=60°，M是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC1D1（如图）
（1）求证：BC1⊥AC；
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15．已知定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当-1≤x＜0时，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），则方程f（x）-$\frac{1}{2}$=0在（0，6）内的零点之和为（　　）
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（1）求证：AD∥MN；
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12．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，DE⊥AD，BF∥DE，DE=BF=1，M为BC的中点．
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（Ⅱ）在线段AF上是否存在一点N，使平面DMN与平面ABCD所成的角的余弦值为$\frac{3\sqrt{14}}{14}$？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
19．已知函数f（x）=x2-alnx-x（a≠0）
（1）若f（x）在x=$\frac{3}{4}$处取得极值，求实数a的值；
（2）若a＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）图象上的任意两点，记直线AB的斜率为k，求证：f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞k．
16．己知函数f（x）图象如图所示，写出该函数的单调区间及在各个单调区间的单调性，比较f（1）和f（2），f（-1）和f（-2）的大小．
17．不等式3x+2y-6≤0表示的区域是（　　）
A．B．C．D．

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