Question

函数f（x）=e^xsinx在区间[0，

π

2

]上的值域为（　　）

• A、[0，e 

  π

  2

  ]
• B、（0，e 

  π

  2

  ）
• C、[0，e 

  π

  2

  ）
• D、（0，e 

  π

  2

  ]

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：由已知得f′（x）=e^x（sinx+cosx），由x∈[0，

π

2

]，得f′（x）＞0，f（x）在[0，

π

2

]上是增函数，由此能求出函数f（x）=e^xsinx在区间[0，

π

2

]上的值域．

解答： 解：∵f（x）=e^xsinx，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx），
∵x∈[0，

π

2

]，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，

π

2

]上是增函数，
∴f（x）_min=f（0）=0，f（x）_max=f（

π

2

）=e

π

2

．
∴函数f（x）=e^xsinx在区间[0，

π

2

]上的值域为[0，e 

π

2

]．
故选：A．

点评：本题考查函数在闭区间上的值域的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．