Question

15．设a＞0，且x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3ax-y-9≤0}\\{x+4y-16≤0}\\{x+a≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若z=x+y的最大值为7，则$\frac{y}{x+3}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{13}{8}$
• B． $\frac{15}{8}$
• C． $\frac{3}{7}$
• D． $\frac{17}{8}$

Answer 1

分析 作出题中不等式组表示的平面区域，利用z=x+y的最大值为7，推出直线x+y=7与x+4y-16=0的交点A必在可行域的边缘顶点，得到a，利用所求的表达式的几何意义，可得$\frac{y}{x+3}$的最大值．

解答 解：作出不等式组约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3ax-y-9≤0}\\{x+4y-16≤0}\\{x+a≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域，直线x+
y=7与x+4y-16=0的交点A必在可行域的边缘顶点．$\left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\{x+4y-16-0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（4，3）在3ax-y-9=0上，
可得12a-3-9=0，解得a=1．
$\frac{y}{x+3}$的几何意义是可行域的点与（-3，0）连线的斜率，由可行域可知（-3，0）与B连线的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{x+4y-16=0}\end{array}\right.$可得B（-1，$\frac{17}{4}$），$\frac{y}{x+3}$的最大值为：$\frac{\frac{17}{4}}{-1+3}$=$\frac{17}{8}$．
故选：D．

点评 本题给出二元一次不等式组，求在已知目标函数的最大值为1的情况下求$\frac{y}{x+3}$的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．考查分析问题解决问题的能力．