Question

5．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=15，a₃和a₅的等差中项为9
（1）求a_n及S_n
（2）令b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据S₃=15，a₃和a₅的等差中项为9，列方程组解得：a₁=3，d=2，写出通项公式a_n和前n项和S_n公式；
（2）由b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），采用裂项法求数列的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，所以设其首项为a₁，公差为d，
∵S₃=3a₃，a₃+a₅=18，
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=5}\\{2{a}_{1}+6d=18}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1，
a_n=2n+1，
${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n+1）d}{2}$=n²+2n；
（2）由（1）知a_n=2n+1，
∴b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{4}{4{n}^{2}+4n}$=（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），（n∈N^*），
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题主要考查了的等差数列的通项公式及求和公式的应用，数列的裂项相消求和方法的应用，属于数列知识的简单综合．