Question

4．已知函数y=-$\sqrt{x+2}$（2≤x≤14），设其值域为集合A，集合B={x|y=lg[kx²+（2k-4）x+k-4]，x∈R}．
（1）求集合A；
（2）若A∪B=B，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过函数的单调性求出函数的值域求解集合A．
（2）设g（x）=kx²+4x+k+3，B={x|g（x）＞0}．分k=0、k＞0、k＜0三种情况，分别求出实数k的取值范围，取并集即得所求．

解答 解：（1）、函数y=-$\sqrt{x+2}$（2≤x≤14），因为函数是单调函数，所以y∈[-4，-2]．
期A=[-4，-2]．
（2）由A∪B=B，即：A⊆B，
设g（x）=kx²+（2k-4）x+k-4，则由题意可得B={x|g（x）＞0}．
①当k=0时，B=（-∞，-1]，满足题意．
②当k＞0时，注意到g（x）的图象开口向上，A⊆B，可得：$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）＞0}\\{-\frac{2k-4}{2k}≥-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{g（-4）＞0}\\{-\frac{2k-4}{2k}≤-4}\end{array}\right.$，
解得：k＞0．
③当k＜0时，由A∪B=B，即：B⊆A知$\left\{\begin{array}{l}{g（-4）＞0}\\{g（-2）＞0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{4}{3}$＜k＜0．
综上可知，实数k的取值范围为（-$\frac{4}{3}$，+∞）．

点评 本题主要考查集合中参数的取值问题，函数与方程的应用，二次函数的性质，求对数函数的定义域，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．