Question

若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y=1相切．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知点Q（2，-2），从圆C外一点P向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PQ|，证明：点P恒在一条定直线上，并求出定直线l的方程；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l与x轴的交点为F，点M，N是直线x=6上两动点，且以M，N为直径的圆E过点F，判断圆E是否过除F点外的其它定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）圆心C（m，n），由题意得m=3，半径r=|1-n|=

9+n2

，由此能求出圆C的方程．
（Ⅱ）设P（x，y），由题意得

(x-3)2+(y+4)2-25

=

(x-2)2+(y+2)2

，由此能证明点P恒在直线x-2y+4=0上．
（Ⅲ）法一：F（-4，0），由题意设点M（6，y₁），N（6，y₂），则圆心E（6，

y1+y2

2

），半径r=

|y1-y2|

2

，由此能求出圆E过定点（16，0）和（-4，0）．
（Ⅲ）法二：根据圆的对称性，又直线x=6过圆心，点F关于直线x=6的对称点F′必在圆上，由此能求出圆E过定点（16，0）和（-4，0）．

解答： （Ⅰ）解：设圆心C（m，n），由题意得m=3，
半径r=|1-n|=

9+n2

，解得n=-4，r=5，
∴圆C的方程为（x-3）²+（y+4）²=25．…（4分）
（Ⅱ）证明：设P（x，y），由题意得PT⊥CT，
∴|PT|=

|PC|2-|CT|2

=

(x-3)2+(y+4)2-25

，…（6分）
∵|PT|=|PQ|，
∴

(x-3)2+(y+4)2-25

=

(x-2)2+(y+2)2

，
整理得x-2y+4=0，
∴点P恒在直线x-2y+4=0上．…（8分）
（Ⅲ）解法一：F（-4，0），由题意设点M（6，y₁），N（6，y₂），
则圆心E（6，

y1+y2

2

），半径r=

|y1-y2|

2

，
从而圆E的方程为（x-6）²+（y-

y1+y2

2

）²=

(y1-y2)2

4

，…（9分）
整理得x²+y²-12x-（y₁+y₂）y+36+y₁y₂=0，
又点F在圆E上，故

FM

•

FN

=0，得y₁y₂=-100，…（10分）
∴x²+y²-12x-（y₁+y₂）y-64=0，
令y=0，得x²-12x-64=0，解得x=16或x=-4，
∴圆E过定点（16，0）和（-4，0）．…（12分）
（Ⅲ）解法二：根据圆的对称性，又∵直线x=6过圆心，
∴点F关于直线x=6的对称点F′必在圆上…（10分）
∵F（-4，0），设F′（m，n），则

m-4 2 =6 n+0 2 =0

，∴F′（16，0）．
∴圆E过定点（16，0）和（-4，0）．…（12分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查点恒在定直线上的证明，考查圆是否经过定点的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．