Question

如图，在正方体ABCD－中，点O为底面对角线AC与BD的交点．

　　(1)求证：BD⊥；

　　(2)求证：BD⊥平面；

　　(3)求二面角－BD－的平面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：在正方体ABCD－中，底面ABCD是正方形，∴底面对角线BD⊥AC，易证四边形是矩形． 　　∴AC∥，∴BD⊥． 　　(2)证明：∵⊥底面ABCD，且BD底面ABCD，∴BD⊥ 　　又∵BD⊥AC，AC平面，平面， 　　AC∩＝A∴BD⊥平面． 　　(3)设正方体的棱长为a，连结， 　　∵BD⊥平面平面， 　　平面，∴BD⊥，BD⊥． 　　∴∠为二面角的平面角． 　　由平面几何知识可知△均为边长是a的等边三角形， 　　∴， 　　∴在△中，根据余弦定理，有cos∠． 　　分析(1)由于∥AC，故可以转化证明BD⊥AC；(2)要证直线与平面垂直，只要证明直线与平面内两条相交的直线垂直即可；(3)先根据二面角的平面角的作法做出平面角是关键，在△⊥BD，故O是棱上选取的最佳点．

提示：

从已知出发寻找有关的性质定理，再从求证出发联想有关的判定定理，把综合法与分析法结合起来使用，是顺利找到证明途径的有效方法，证明位置关系的一般思路有： 　　（1)要证线面平行，先证线线平行； 　　（2）要证面面平行，先证线面平行； 　　（3）要证线面垂直，先证线线垂直； 　　（4）要证面面垂直，先证线面垂直．